6.4 Aplicaciones

Tipos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias:

1. Aplicaciones a la mecánica:

1.1 Las leyes del movimiento de Newton.

2. Aplicaciones a los circuitos eléctricos:

2.1 La ley de Kirchhoff.

3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario.

4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.

5. El cable colgante.

6. La deflexión de vigas.

Movimiento armónico simple. Como sabemos, el movimiento armónico simple es aquél producido al colocar una masa en muelle como muestra la siguiente figura Entonces, si suponemos el cuerpo libre de rozamiento y lo desplazamos verticalmente respecto de su posición de equilibrio, dicho cuerpo comienza a moverse según la ecuación diferencial my00 + ky = 0, (5.3) donde m es la masa del objeto y k es la constante de recuperación del muelle. Dado que la masa m y la constante k son positivas, puede comprobarse que para cualquier condición inicial, la solución de la ecuación (5.3) es de la forma y(t) = c1 sin(pk/mt) + c2 cos(pk/mt), donde c1 y c2 son dos constantes reales que se calcularán una vez tengamos las condiciones iniciales y(0) e y0 (0). Si expresamos c1 y c2 en coordenadas polares ½ c1 = A cos ϕ, c2 = A sin ϕ, obtenemos la expresión y(t) = A sin(ωt + ϕ), (5.4) donde A recibe el nombre de amplitud, ω = +pk/m se conoce como frecuencia y ϕ como fase inicial. Exercise 11 Supongamos que desplazamos el cuerpo de la posición de equilibrio 1 m. Se pide calcular las ecuaciones del movimiento para los siguientes valores de la masa y la constante de recuperación del muelle: (a) m = 1 kg. k = 1 N/m. e y0 (0) = 0. (b) m = 2 kg. k = 0.5 N/m. e y0 (0) = 1. 76 Ecuaciones diferenciales con Mathematica (c) m = 1 kg. k = 4 N/m. e y0 (0) = 2. Dibujar las gráficas de las funciones obtenidas al resolver las ecuaciones anteriores en el intervalo [0, 10π] y comprobar que son periódicas, calculando el periodo de éstas. Obtener además la amplitud, frecuencia y fase inicial de los movimientos anteriores.

6.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma:

Reducción a un sistema de primer orden

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones:

Existe un sistema equivalente de primer orden con a lo sumo (n+1)xm ecuaciones. Para ver esto consideremos un sistema en que intervienen m funciones incógnitas x_i y sus n derivadas, e introduzcamos un nuevo conjunto de variables y_i,k definidos de la siguiente manera:

El sistema de primer orden equivalente en las variables y_i,k resulta ser:

Como ejemplo de reducción de un sistema de ecuaciones diferenciales podemos considerar las ecuaciones de movimiento de la mecánica newtoniana de una partícula que es un sistema de segundo orden con tres ecuaciones:

Si se introducen tres funciones incógnita nuevas que representan la velocidad, el sistema anterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones:

6.2 Método de pasos múltiples.

Metodo de Pasos Multiples

Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.
























Observe la ecuación ec. 2 alcanza ) a expensas de emplear un tamaño de paso mas grande, 2h. Además, observe que la ecuación ec. 1 no es de autoinicio, ya que involucra un valor previo de la variable dependiente yi-1. Tal valor podria no estar disponible en un problema común de valor inicial. A causa de ello, las ecuaciones 26.11 y 26.12 son llamadas método de Heun de no autoinició.




Como se ilustra en la figura 26.4, la derivada estimada de la ecuación 26.12 se localiza ahora en el punto medio mas que al inicio del intervalo sobre el cual se hace la predicción. Como se demostrara después, esta ubicación centrada mejora el error del predictor a Sin embargo, antes de proceder a una deducción formal del método de Heun de no autoinicio, resumiremos el método y lo expresaremos usando una nomenclatura ligeramente modificada:















La ecuación se puede aplicar de manera iterativa hasta que Ea esté por debajo de un valor pre especificado de Es. Como fue el caso con el método de Heun, las iteraciones convergen sobre un valor de 6.360865. Sin embargo, como el valor del predictor inicial es más exacto, el método de multipaso converge una razón algo más rápida.Para el segundo paso, el predictor es:






Que es superior a la predicción de 12.08260 que fue calculada con el método de Heun original. El primer corrector da 15.76693 e iteraciones subsecuentes convergen sobre el mismo resultado como se obtuvo con el método de Heun de autoinicio: 15.30224. Como con el paso anterior, la razón de convergencia del corrector ha sido mejorada debido a la mejor predicción inicial.




Deducción y análisis del error de las formulas del predictor-corrector. Ya empleamos conceptos







gráficos para deducir el Heun de no autoinicio. Ahora mostraremos como las mismas ecuaciones se pueden deducir matemáticamente. Esta deducción es en particular interesante porque vincula las ideas del ajuste de curva, de la integración numéricas y de las EDO. El ejercicio también es útil porque proporciona un procedimiento simple para desarrollar métodos de multipaso de orden superior y estima sus errores.La deducción se basa en resolver la EDO general:







La ecuación representa una solución a la EDO si la integral puede ser evaluada. Es decir, proporciona un medio para calcular un nuevo valor de la variable dependiente con base en un valor previo de y la ecuación diferencial.
Las formulas de integración numérica proporcionan una manera de hacer esta evaluación. Por ejemplo, la regla trapezoidal se puede usar para evaluar la integral, como en:






El cual es el predictor para el Heun de no autoinicio. Como con el corrector, el error de truncamiento local se puede tomar directamente:




Donde el subíndice p designa que este es el error dele predictor.
Así, el predictor y el corrector para el método de Heun de no autoinicio tiene errores de truncamiento del mismo orden. Además de actualizar la exactitud del predictor, este hecho tiene beneficios adicionales relacionados con el análisis del error, como se elaborara en la siguiente sección.
Estimación de errores: Si el predictor y el corrector de un método multipaso son del mismo orden, el error de truncamiento local puede estimarse durante el curso de un cálculo. Esto es una tremenda ventaja, ya que establece un criterio para el ajuste del tamaño de paso.
El error de truncamiento local para el predictor se estima con la ecuación ec.9. Dicho error estimado se puede combinar con el estimado de del paso predictor para dar:

6.1 Métodos de un paso.

Métodos de un paso:

Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta.

En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.


El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:




Consiste en multiplicar los intervalos que va de a en subintervalos de ancho ; osea:




de manera que se obtiene un conjunto discreto de puntos: del intervalo de interes . Para cualquiera de estos puntos se cumlple que:





.





La condición inicial , representa el punto por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como .


Ya teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de en ese punto; por lo tanto:

















Grafica A.


Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por y de pendiente . Esta recta aproxima en una vecinidad de . Tómese la recta como reemplazo de y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a . Entonces, podemos deducir segun la Gráfica A:











Se resuelve para :








Es evidente que la ordenada calculada de esta manera no es igual a , pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor sirve para que se aproxime en el punto y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:





Método de Euler Mejorado


Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.


La fórmula es la siguiente:





Donde





Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:


En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada.
Método de Runge-Kutta


El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.


Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, delproblema de valor inicial.


Sea




una ecuación diferencial ordinaria, con donde es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea







Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

,


donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento entre los sucesivos puntos y . Los coeficientes son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local




con coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, para , los esquemas son explícitos.