4.4 Aplicaciones

Integración Múltiple y Numérica (Aplicaciones)

Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional.

ÁREA DE UNA FIGURA PLANA:

Recordemos la integral doble como el volumen de un solido S definido sobre una region R y bajo la grafica de una función f. Ahora vamos a considerar f(xy)=1 , entonces la integral queda de la siguiente manera:




Donde ∫∫dA representa el volumen de un solido de volumen transversal constante, cuya base es la region R. Para un solido con estas características el volumen se obtiene como el producto del área de la base y altura del mismo

Así que definimos el calculo de una region plana como:


VOLUMEN DE UN SOLIDO EN EL ESPACIO:


Sea f y g dos funciones de dos variables definidas y continuas en la región plana R tales que f(x,y)≤g(x,y) ∀ ∈ R.

Sea V el volumen del sólido acotado superiormente por la gráfica de la función g y acotado interiormente por la gráfica de la función f, entonces:







MASA DE UNA FIGURA PLANA:


Se usa para determinar la masa de una figura plana no homogénea, de área R , es decir para regiones donde la densidad varía en cada punto .

Si se escoge un punto arbitrario que pertenezca a R, entonces la masa de este sub rectángulo, se obtiene como:

Si se aumenta el número de sub intervalos, de manera que la

norma de la partición P tienda a cero, se tiene:



Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene mediante:






CENTRO DE MASA:






Las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana R se obtienen de:







Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos estáticos se calculan por medio de integrales dobles.






MOMENTO DE INERCIA


El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia que la separa de ese eje y se considera como una medida de   la oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de rotación.

Sea R una región del plano (x,y), tal que su densidad pertenece a R y la cual es continua

∀(x,y) ∈ R ,

Los momentos de inercia alrededor de los ejes x y y, denotados I(x) e I(y), las obtenemos como:





El momento polar de inercia es:




Diferenciación Numérica

Si tenemos una función continua y derivable en un intervalo de la cual tenemos sus valores en n+1 puntos diferentes , y queremos saber el valor de su derivada en algún punto x del intervalo, una forma posible de hacerlo es:
calcular el polinomio interpolador que aproxima a la función en los puntos dados
derivar el polinomio y evaluar la derivada en x.