6.4 Aplicaciones

Tipos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias:

1. Aplicaciones a la mecánica:

1.1 Las leyes del movimiento de Newton.

2. Aplicaciones a los circuitos eléctricos:

2.1 La ley de Kirchhoff.

3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario.

4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.

5. El cable colgante.

6. La deflexión de vigas.

Movimiento armónico simple. Como sabemos, el movimiento armónico simple es aquél producido al colocar una masa en muelle como muestra la siguiente figura Entonces, si suponemos el cuerpo libre de rozamiento y lo desplazamos verticalmente respecto de su posición de equilibrio, dicho cuerpo comienza a moverse según la ecuación diferencial my00 + ky = 0, (5.3) donde m es la masa del objeto y k es la constante de recuperación del muelle. Dado que la masa m y la constante k son positivas, puede comprobarse que para cualquier condición inicial, la solución de la ecuación (5.3) es de la forma y(t) = c1 sin(pk/mt) + c2 cos(pk/mt), donde c1 y c2 son dos constantes reales que se calcularán una vez tengamos las condiciones iniciales y(0) e y0 (0). Si expresamos c1 y c2 en coordenadas polares ½ c1 = A cos ϕ, c2 = A sin ϕ, obtenemos la expresión y(t) = A sin(ωt + ϕ), (5.4) donde A recibe el nombre de amplitud, ω = +pk/m se conoce como frecuencia y ϕ como fase inicial. Exercise 11 Supongamos que desplazamos el cuerpo de la posición de equilibrio 1 m. Se pide calcular las ecuaciones del movimiento para los siguientes valores de la masa y la constante de recuperación del muelle: (a) m = 1 kg. k = 1 N/m. e y0 (0) = 0. (b) m = 2 kg. k = 0.5 N/m. e y0 (0) = 1. 76 Ecuaciones diferenciales con Mathematica (c) m = 1 kg. k = 4 N/m. e y0 (0) = 2. Dibujar las gráficas de las funciones obtenidas al resolver las ecuaciones anteriores en el intervalo [0, 10π] y comprobar que son periódicas, calculando el periodo de éstas. Obtener además la amplitud, frecuencia y fase inicial de los movimientos anteriores.