6.1 Métodos de un paso.

Métodos de un paso:

Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta.

En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.


El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:




Consiste en multiplicar los intervalos que va de a en subintervalos de ancho ; osea:




de manera que se obtiene un conjunto discreto de puntos: del intervalo de interes . Para cualquiera de estos puntos se cumlple que:





.





La condición inicial , representa el punto por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como .


Ya teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de en ese punto; por lo tanto:

















Grafica A.


Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por y de pendiente . Esta recta aproxima en una vecinidad de . Tómese la recta como reemplazo de y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a . Entonces, podemos deducir segun la Gráfica A:











Se resuelve para :








Es evidente que la ordenada calculada de esta manera no es igual a , pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor sirve para que se aproxime en el punto y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:





Método de Euler Mejorado


Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.


La fórmula es la siguiente:





Donde





Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:


En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada.
Método de Runge-Kutta


El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.


Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, delproblema de valor inicial.


Sea




una ecuación diferencial ordinaria, con donde es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea







Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

,


donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento entre los sucesivos puntos y . Los coeficientes son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local




con coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, para , los esquemas son explícitos.