5.2 Polinomio de interpolación de Lagrange.

Interpolacion de Lagrange

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpolaun conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.


Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en Biología, etc.. situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, predecir la existencia de otros valores con la aproximación adecuada. El problema de la interpolación es de gran importancia en el análisis numérico. En este artículo vemos muy brevemente una manera elemental de interpolación y la obtención de la conocida Fórmula Interpoladora de Lagrange.

Interpolacion y Polinomio de Interpolacion de Lagrange


Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que


Ln,k(xi) = 0 cuando i ¹ k y Ln,k(xk) = 1


Se requiere entonces que el numerador contenga


(x – x0) (x – x1)... (x – xk–1)(x – xk+1)... (x – xn)


El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk.




N-ésimo polinomio interpolante de Lagrange


Teorema


Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado a lo más n, con la propiedad de que


f(xk) = P(xk) para cada k = 0, 1, 2, ...n


Este polinomio está dado por:









Donde








Aproximación a 1/x con interpolantesde Lagrange


Usaremos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4, para obtener un polinomio de grado 2 para 1/x. f(x0) = 0.5, f(x1)= 0.4 y f(x2) = 0.25.

Los polinomios de Lagrange son:










P(x) = 0.5*((x–6.5)x+10)+0.4*((–4x+24)x–32)/3+ 0.25*((x + 4.5)x+5)/3




P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 = 0.05x2 – 0.425x + 1.15


f(3) = P(3) = 0.325


P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15


f(3) = P(3) = 0.325










El error en la interpolación de Lagrange


El error en la interpolación de Lagrange puede calcularse con :








Algoritmo en Matlab Langre

function fi = Lagran_(x, f, xi)
fi=zeros(size(xi));
np1=length(f);



for i=1:np1

z=ones(size(xi));

for j=1:np1

if i~=j, z = z.*(xi - x(j))/(x(i)-x(j));end

end
fi=fi+z*f(i);
end return;