miércoles, 27 de mayo de 2020
4.4 Aplicaciones
Integración Múltiple y Numérica (Aplicaciones)
ÁREA DE UNA FIGURA PLANA:
Recordemos la integral doble como el volumen de un solido S definido sobre una region R y bajo la grafica de una función f. Ahora vamos a considerar f(xy)=1 , entonces la integral queda de la siguiente manera:
Donde ∫∫dA representa el volumen de un solido de volumen transversal constante, cuya base es la region R. Para un solido con estas características el volumen se obtiene como el producto del área de la base y altura del mismo
Así que definimos el calculo de una region plana como:
VOLUMEN DE UN SOLIDO EN EL ESPACIO:
Sea f y g dos funciones de dos variables definidas y continuas en la región plana R tales que f(x,y)≤g(x,y) ∀ ∈ R.
Sea V el volumen del sólido acotado superiormente por la gráfica de la función g y acotado interiormente por la gráfica de la función f, entonces:
MASA DE UNA FIGURA PLANA:
Se usa para determinar la masa de una figura plana no homogénea, de área R , es decir para regiones donde la densidad varía en cada punto .
Si se escoge un punto arbitrario que pertenezca a R, entonces la masa de este sub rectángulo, se obtiene como:
Si se aumenta el número de sub intervalos, de manera que la
norma de la partición P tienda a cero, se tiene:
Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene mediante:
CENTRO DE MASA:
Las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana R se obtienen de:
Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos estáticos se calculan por medio de integrales dobles.
MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia que la separa de ese eje y se considera como una medida de la oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de rotación.
Sea R una región del plano (x,y), tal que su densidad pertenece a R y la cual es continua
∀(x,y) ∈ R ,
Los momentos de inercia alrededor de los ejes x y y, denotados I(x) e I(y), las obtenemos como:
El momento polar de inercia es:
Diferenciación Numérica
Si tenemos una función continua y derivable en un intervalo
de la cual tenemos sus valores en n+1 puntos diferentes 
, y queremos saber el valor de su derivada en algún punto x del intervalo, una forma posible de hacerlo es:calcular el polinomio interpolador que aproxima a la función en los puntos dados
derivar el polinomio y evaluar la derivada en x.
martes, 12 de mayo de 2020
lunes, 9 de marzo de 2020
MÉTODO DE BISECCION
Este método , que se utiliza para resolver ecuaciones de una variable, está basado en el «Teorema de los Valores Intermedios» (TVM), en el cual se establece que toda función continua f, en un intervalo cerrado [a,b], toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b), de tal forma que la ecuación f(x)=0 tiene una sola raíz que verifica f(a).f(b)<0.
Dicho en cristiano, que si dicha función viaja del punto a al punto b, ha de pasar por m, que es cuando la función se hace cero. Ése es el punto que buscamos.
*Nota: Como veis f(a) es negativo, por tanto el producto dará negativo, eso nos asegura que existe al menos un valor de la función que es cero.
Una vez entendido lo anterior, veamos en detalle en qué consiste el método de la bisección:
En pocas palabras, consiste en ir dividiendo la función que hemos visto arriba en subintervalos, y hallar los puntos medios de cada uno de ellos (m), quedándonos una cosa así:
Pero veámoslo por pasos cual receta de cocina:
1) Elegimos dos valores iniciales a1 y b1, de tal forma que la función cambie de signo:
2) Realizamos la primera aproximación a la raíz, mediante la fórmula del punto medio:
**Nota, usamos los puntos, no las funciones!! Es decir, lo que está dentro del paréntesis, NO pongáis aquí el resultado de sustituir en la función.
3) Ahora determinamos en que subintervalo se encuentra la raíz:
Si f(a1)f(m1) <0, entonces la raíz está en el subintervalo [a1,m1] y b1=m1
si f(a1)f(m1)>0, entonces la raíz está en el subintervalo [b1, m1] y a1=m1
Si f(a1)f(m1)=0, entonces aquí se encuentra la raíz
Resumido, hasta aquí, es ir hallando mitades sucesivamente hasta llegar al intervalo que nos de igual a cero.
4) Calculamos una nueva aproximación a la raíz.
5) Evaluamos el valor relativo aproximado:
Entonces, si:
Si no cumple la condición, simplemente volvemos al paso 3.
>>Ejemplo:
Aproximar la raíz:
Hallar en que intervalo está la raíz con un error más pequeño que media decima
Lo que nos piden es que hallemos una solución para esa ecuación, y que el error que podamos tener de cálculo sea menor a 0.5. Procedemos paso a paso:
1) Comprobamos si es continua y vemos si cambia de signo para dos valores x1 y x2:
f es continua en el intervalo (0,+∞). Ahora debemos buscar dos valores tales que:
f(x1).f(x2)<0
x1=1-> f(x1)= 0,3679
x2=1->f(x2)= -0,5578
*Nota: Los valores elegidos son aleatorios, podéis usar otros distintos de 1 y 2, siempre que f(x) cambie de signo.
2) x3=(x1+x2)/2=1,5 –>∈<0,5, ya que |1-1,5|=0,5 y |2-1,5|=0,5
3) Momento de empezar a escoger subintervalos, escogemos el x1=1 que ya teníamos y el x3=1,5:
a) f(x3)= -0,1823
f(x1)= 0,3679
ya que |1,5-1,25|=0,25 y |1-1,25|=0,25
Como vemos el error es cada vez más pequeño, pero podemos hacerlo todavía mejor, pues todavía no está cercano a cero. Seguimos haciendo subintervalos.
b) f(x4)=0.0634
x4=1,25 ; f(x4)=0,0634
x3=1,5; f(x3)= -0,1823
c) f(x5)= -0,0656
x4=1,25; f(x4)= 0,0634
x5=1,375; f(x5)= -0.0656
d) f(x6)= -0,0028
x4=1,25; f(x4)= 0,0634
x6=1,3125; f(x6)= -0.028
f(x7)=0,0299
Finalmente obtenemos que 1,28125 ± 0,03125 es una raíz de f(x).
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