5.2 Polinomio de interpolación de Lagrange.

Interpolacion de Lagrange

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpolaun conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.


Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en Biología, etc.. situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, predecir la existencia de otros valores con la aproximación adecuada. El problema de la interpolación es de gran importancia en el análisis numérico. En este artículo vemos muy brevemente una manera elemental de interpolación y la obtención de la conocida Fórmula Interpoladora de Lagrange.

Interpolacion y Polinomio de Interpolacion de Lagrange


Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que


Ln,k(xi) = 0 cuando i ¹ k y Ln,k(xk) = 1


Se requiere entonces que el numerador contenga


(x – x0) (x – x1)... (x – xk–1)(x – xk+1)... (x – xn)


El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk.




N-ésimo polinomio interpolante de Lagrange


Teorema


Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado a lo más n, con la propiedad de que


f(xk) = P(xk) para cada k = 0, 1, 2, ...n


Este polinomio está dado por:









Donde








Aproximación a 1/x con interpolantesde Lagrange


Usaremos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4, para obtener un polinomio de grado 2 para 1/x. f(x0) = 0.5, f(x1)= 0.4 y f(x2) = 0.25.

Los polinomios de Lagrange son:










P(x) = 0.5*((x–6.5)x+10)+0.4*((–4x+24)x–32)/3+ 0.25*((x + 4.5)x+5)/3




P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 = 0.05x2 – 0.425x + 1.15


f(3) = P(3) = 0.325


P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15


f(3) = P(3) = 0.325










El error en la interpolación de Lagrange


El error en la interpolación de Lagrange puede calcularse con :








Algoritmo en Matlab Langre

function fi = Lagran_(x, f, xi)
fi=zeros(size(xi));
np1=length(f);



for i=1:np1

z=ones(size(xi));

for j=1:np1

if i~=j, z = z.*(xi - x(j))/(x(i)-x(j));end

end
fi=fi+z*f(i);
end return;

5.1 Polinomio de interpolación de Newton

POLINOMIOS DE INTERPOLACION DE NEWTON

Uno de estas formas de interpolación se denomina Polinomios de Interpolación de

Newton, que trabaja directamente en la tabla obtenida mediante el proceso de Diferencias Divididas; En el desarrollo de estas diferencias finitas, se obtuvo en primer lugar las diferencias finitas ordinarias y luego las diferencias finitas divididas.






Interpolación polinomial de Newton


Algunos casos: lineal, de segundo grado y de tercer grado.
















Interpolación lineal


Utilizando triángulos semejantes









Reordenando





















Ejemplo


Estimar ln 2 mediante interpolación lineal si ln1 = 0 y ln 6 = 1.791759 y ln 4 = 1.386294















Valor real ln 2 = 0.6931472




Error relativo porcentual = 33.3%











Forma General de los polinomios de interpolación de Newton

















Polinomio de interpolacion de newton en diferencias divididas













Errores de interpolacion polinomial de Newton

Mapa Mental Diferenciación numérica

4.4 Aplicaciones

Integración Múltiple y Numérica (Aplicaciones)

Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional.

ÁREA DE UNA FIGURA PLANA:

Recordemos la integral doble como el volumen de un solido S definido sobre una region R y bajo la grafica de una función f. Ahora vamos a considerar f(xy)=1 , entonces la integral queda de la siguiente manera:




Donde ∫∫dA representa el volumen de un solido de volumen transversal constante, cuya base es la region R. Para un solido con estas características el volumen se obtiene como el producto del área de la base y altura del mismo

Así que definimos el calculo de una region plana como:


VOLUMEN DE UN SOLIDO EN EL ESPACIO:


Sea f y g dos funciones de dos variables definidas y continuas en la región plana R tales que f(x,y)≤g(x,y) ∀ ∈ R.

Sea V el volumen del sólido acotado superiormente por la gráfica de la función g y acotado interiormente por la gráfica de la función f, entonces:







MASA DE UNA FIGURA PLANA:


Se usa para determinar la masa de una figura plana no homogénea, de área R , es decir para regiones donde la densidad varía en cada punto .

Si se escoge un punto arbitrario que pertenezca a R, entonces la masa de este sub rectángulo, se obtiene como:

Si se aumenta el número de sub intervalos, de manera que la

norma de la partición P tienda a cero, se tiene:



Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene mediante:






CENTRO DE MASA:






Las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana R se obtienen de:







Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos estáticos se calculan por medio de integrales dobles.






MOMENTO DE INERCIA


El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia que la separa de ese eje y se considera como una medida de   la oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de rotación.

Sea R una región del plano (x,y), tal que su densidad pertenece a R y la cual es continua

∀(x,y) ∈ R ,

Los momentos de inercia alrededor de los ejes x y y, denotados I(x) e I(y), las obtenemos como:





El momento polar de inercia es:




Diferenciación Numérica

Si tenemos una función continua y derivable en un intervalo de la cual tenemos sus valores en n+1 puntos diferentes , y queremos saber el valor de su derivada en algún punto x del intervalo, una forma posible de hacerlo es:
calcular el polinomio interpolador que aproxima a la función en los puntos dados
derivar el polinomio y evaluar la derivada en x.

4.3 Integración múltiple.

Diferenciación e integración numérica

4.3 Integración múltiple. 

4.2 Integración numérica

Diferenciación e integración numérica

4.2 Integración numérica. 

4.1 Diferenciación numérica

Diferenciación e integración numérica

4.1  Diferenciación numérica